Sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como

$\mathcal{N} = (S, \mathcal{R})$

donde:

$\mathcal{N}$ es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
$S\,$ es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
$\mathcal{R}$ son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

SISTEMA BINARIO

l sistema binario, llamado también sistema diádico en ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es uno de los que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

La historia de los numeros binarios:

El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bits) y números binarios de 6 bits eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Adgart en el siglo XI.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

Sistema octal

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos del 0 al 7.

En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.

Métodos de conversión

Decimal

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente por 8 hasta obtener residuo 0, luego los restos de las divisiones leídos en orden inverso indican el número en octal.

Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

Binario

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

Sistema de numeración octal

El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot 8^n+\ldots+d_1\cdot 8^1+d_0\cdot 8^0 , +d_{-1}\cdot 8^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot8^{-k}& =& \end{matrix}

N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot 8^i

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452,32 tenemos que: 2*8⁰ + 5*8¹ + 4*8² + 3*8³ + 3*8^-1 + 2*8^-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 0,40625d

Entonces, 3452,32q = 1834,40625d

El sub índice "q" indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o' y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal (del griego oktō 'ocho') Esto es muy importante por eso.

Sistema hexadecimal

El sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues loscomputadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa

2^8

valores posibles, y esto puede representarse como

2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 =

1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0

, que equivale al número en base 16

100_{16}

, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte.

En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

$S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\}\,$

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A₁₆ = 3×16³ + E×16² + 0×16¹ + A×16⁰ = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.

El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) -cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9).

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Notación decimal

Véase también: Nombres de los números en español

Véase también: Escalas numéricas larga y corta

Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por

10^0

(es decir 1) ; el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.

\begin{array}{rcccl} \hline 1 & = & 10^0 & \longmapsto & uno \\ 10 & = & 10^1 & \longmapsto & diez \\ 100 & = & 10^2 & \longmapsto & cien \\ 1\; 000 & = & 10^3 & \longmapsto & mil \\ 10\; 000 & = & 10^4 & \longmapsto & diez \; mil \\ 100\; 000 & = & 10^5 & \longmapsto & cien \; mil \\ 1 \; 000\; 000 & = & 10^6 & \longmapsto & un \; mill\acute{o}n \\ \hline \end{array}

Ejemplo:

\begin{array}{rcl} 347 & = & 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 7 \cdot 1 \\ & = & 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 \end{array}

otro ejemplo:

17\; 350 = 1 \cdot 10\; 000 + 7 \cdot 1\; 000 + 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1

o también:

\begin{array}{rcrcr} 10\; 000 & \times & 1 & = & 10\; 000 \\ 1\; 000 & \times & 7 & = & 7\; 000 \\ 100 & \times & 3 & = & 300 \\ 10 & \times & 5 & = & 50 \\ 1 & \times & 0 & = & 0 \\ \hline & & & & 17\; 350 \end{array}

Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.